1
Dasar-Dasar Pendiferensialan Numerik
MATH007Lesson 4
00:00
Pendiferensialan numerik menandai transisi berisiko tinggi dari kelancaran tak terbatas kalkulus ke dunia diskret dan terbatas komputasi digital. Kita menukar batas tak hingga kecil dengan ukuran langkah yang dapat diukur $h$. Meskipun turunan teoretis dari $f$ di titik $x_0$ didefinisikan sebagai $$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$, sistem komputer tidak dapat menghitung limit secara langsung. Sebagai gantinya, kita menggunakan rumus beda hingga, menimbulkan hukuman terukur yang dikenal sebagai kesalahan pemotongan.

1. Geometri Turunan

Untuk mendekati $f'(x_0)$, kita melihat titik-titik tetangga. Bergantung pada pilihan arah kita, kita memperoleh dua rumus utama:

  • Rumus beda maju: Digunakan jika $h > 0$. Ini melihat ke depan ke titik $x_0 + h$.
  • Rumus beda mundur: Digunakan jika $h < 0$. Ini melihat ke belakang ke titik $x_0 + h$ (di mana $h$ bernilai negatif).

Dalam rekayasa dunia nyata, seperti menghitung panjang busur lintasan melengkung, kita sering mengandalkan pendekatan ini: $$L = \int_{0}^{48} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx = \int_{0}^{48} \sqrt{1 + (\cos x)^2} dx$$ Jika $f(x)$ hanya diketahui pada titik-titik sensor diskret, pendiferensialan numerik adalah satu-satunya jalan maju.

2. Penurunan Matematis Melalui Interpolasi

Untuk mendekati $f'(x_0)$, pertama-tama misalkan bahwa $x_0 \in (a, b)$, dengan $f \in C^2[a, b]$, dan $x_1 = x_0 + h$. Kita membuat polinomial Lagrange pertama $P_{0,1}(x)$ yang ditentukan oleh $x_0$ dan $x_1:

Langkah 1: Pembuatan Fungsi Interpolasi
$f(x) = P_{0,1}(x) + \frac{(x - x_0)(x - x_1)}{2!} f''(\xi(x))$
Langkah 2: Pendiferensialan
Mendiferensialkan kedua sisi dan mengevaluasi pada $x = x_0$ menghasilkan hubungan dasar: $$f'(x_0) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} - \frac{h}{2} f''(\xi)$$

3. Istilah Kesalahan dan Konvergensi

Istilah $-\frac{h}{2} f''(\xi)$ merupakan kesalahan pemotongan kita. Formula ini menunjukkan bahwa akurasi adalah $O(h)$, artinya jika Anda mengurangi ukuran langkah $h$ menjadi separuhnya, maka kesalahan juga sekitar menjadi separuhnya. Namun, kita harus berhati-hati: meskipun $h$ yang lebih kecil mengurangi kesalahan pemotongan, pada akhirnya akan meningkatkan kesalahan pembulatan karena pengurangan dua angka yang sangat mirip dalam pembilang.

๐ŸŽฏ Prinsip Inti: Beda Hingga
Pendiferensialan numerik menggantikan limit dengan tali busur terbatas. Kualitas pendekatan kita sangat bergantung pada ukuran langkah $h$ dan kelancaran fungsi (turunan kedua).
$f'(x_0) \approx \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ dengan Batas Kesalahan $\frac{h}{2} \max|f''(\xi)|$